Corre Fácil: ¿Te mojas más o te mojas menos si corres bajo la lluvia?

Análisis matemático

Vamos a considerar que el hombre es un ladrillo para simplificar. Por lo tanto, tenemos que considerar lo que se moja la superficie de la cabeza y la superficie frontal del cuerpo. Trataremos ambas situaciones por separado, pues luego basta con aplicar el principio de superposición. Asumiremos que la densidad de gotas de agua en todo el espacio es constante y que llueve de manera vertical (en ausencia de viento). La velocidad de las gotas de agua es constante. Veamos un esquema:

Donde:

$v_{m,x} \equiv \mbox{velocidad del hombre } x$
$v_l \equiv \mbox{velocidad de la lluvia} \equiv \mbox{cte.}$
$v_{p,x} \equiv \mbox{velocidad de la lluvia percibida por el hombre }x$
$\alpha \equiv \acute a \mbox{ngulo de la superficie perpendicular a la velocidad percibida}$

Realizamos las siguientes definiciones:

$\mbox{Densidad de la lluvia} \equiv \rho \equiv \mbox{cte.}$
$\mbox{Superficie del cuerpo } \equiv S_b \equiv \mbox{cte.}$
$\mbox{Superficie de la cabeza } \equiv S_h \equiv \mbox{cte.}$
$\mbox{Superficie efectiva del hombre } x \equiv S_{p,x}$
$\mbox{Cantidad de lluvia que recibe en el cuerpo el hombre } x \equiv Q_{b,x}$
$\mbox{Cantidad de lluvia que recibe en la cabeza el hombre } x \equiv Q_{h,x}$
$\mbox{Distancia hasta el refugio} \equiv s = v_m \cdot t \equiv \mbox{cte.}$

Primero vamos a considerar la lluvia que recibe el cuerpo. Obtenemos la superficie efectiva que es perpendicular a la velocidad percibida de la lluvia. Sabiendo que:

$\cos \alpha = \displaystyle \frac{v_{m,x}}{v_{p,x}}$

Entonces:

$S_{p,x} = S_b \cdot \cos \alpha = \displaystyle \frac{S_b \cdot v_{m,x}}{v_{p,x}}$

Por lo tanto, la cantidad de agua recibida por el cuerpo será proporcional a la densidad de la lluvia, a la superficie efectiva, a la velocidad de la lluvia relativa al hombre (velocidad percibida) y al tiempo. Es decir:

$Q_{b,x} = \rho \cdot S_{p,x} \cdot v_{p,x} \cdot t = \displaystyle \frac{\rho \cdot S_b \cdot v_{m,x} \cdot v_{p,x}}{v_{p,x}} \cdot t = \displaystyle \frac{\rho \cdot S_b \cdot v_{m,x} \cdot v_{p,x} \cdot s}{v_{p,x} \cdot v_{m,x}}$

Simplificando, nos queda:

$Q_{b,x} = \rho \cdot S_b \cdot s$

Es decir, nos queda algo constante: la densidad de la lluvia es constante, la superficie del cuerpo es la misma para ambas situaciones y el espacio a recorrer hasta el refugio más cercano es el mismo. Nuestro cuerpo se moja igual si corremos o andamos.

En segundo lugar vamos a considerar la lluvia que recibe la cabeza. Obtenemos la superficie efectiva que es perpendicular a la velocidad percibida de la lluvia. Sabiendo que:

$\sin \alpha = \displaystyle \frac{v_l}{v_{p,x}}$

Entonces:

$S_{p,x} = S_h \cdot \sin \alpha = \displaystyle \frac{S_h \cdot v_l}{v_{p,x}}$

Por lo tanto, la cantidad de agua recibida por la cabeza será a la expresión anterior. Es decir:

$Q_{h,x} = \rho \cdot S_{p,x} \cdot v_{p,x} \cdot t = \displaystyle \frac{\rho \cdot S_h \cdot v_l \cdot v_{p,x}}{v_{p,x}} \cdot t = \displaystyle \frac{\rho \cdot S_h \cdot v_l \cdot v_{p,x} \cdot s}{v_{p,x} \cdot v_{m,x}}$

Simplificando, nos queda:

$Q_{h,x} = \rho \cdot S_h \cdot s \cdot \displaystyle \frac{v_l}{v_{m,x}}$

En esta ocasión, la densidad, la superficie de la cabeza, el espacio y la velocidad de la lluvia son constantes. Pero la cantidad de agua que recibe la cabeza también depende de la velocidad del hombre y vemos que es inversamente proporcional a ésta. Es decir, cuanto más corremos, menos se nos moja la cabeza.

Conclusiones

Cómo se moja una persona que corre bajo la lluvia es una situación muy caótica y difícil de describir. Sin embargo, la lógica nos dice que esta aproximación lineal es bastante acorde con la realidad. Además de este análisis matemático, existen intentos de recoger pruebas empíricas. Los Cazadores de Mitos dedicaron dos programas a este asunto: en el primero, les salió que el que más corría, más se mojaba. Sin embargo, ese experimento fue realizado con aspersores. Más tarde lo repitieron con lluvia real, que es más homogénea, y obtuvieron que el que más corre se moja ligeramente menos. Este último resultado parece estar más acorde con lo obtenido en nuestro análisis.

$\left . \begin{matrix} Q_x = Q_{b,x} + Q_{h,x} \\ Q_{b,1} = Q_{b,2} \\ Q_{h,1} > Q_{h,2} \end{matrix} \right \} Q_1 > Q_2$

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que si corres bajo la lluvia, te mojas ligeramente menos.

NOTA: Otros han llegado a la misma conclusión con otros métodos. Incluso hemos encontrado una aplicación para calcular cuánto te mojarías variando varios parámetros.

NOTA: valla parida de prueba......

Corre Fácil

domingo, 30 de octubre de 2011

¿Te mojas más o te mojas menos si corres bajo la lluvia?

Análisis matemático

Conclusiones

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